리만 기하학은 계량 텐서가 주어진 리만 다양체와 매끄러운 다양체에 대해 연구한다.
리만 계량 텐서은 매끄러운 양의 정부호 대칭 이중선형꼴로 각 점에에서 접평면에서 정의되는 거리에 대한 개념이다.
리만 기하학은 각 점에서 "미소"하게,즉, 1차 근사로, 유클리드 공간으로 여길수 있지만 실제로 공간이
평평할 필요가 없는 공간에서 유클리드 기하를 일반화시켰다.
곡선의 길이, 면의 넓이, 입체의 부피 같은 길이에 대한 다양한 개념들을 리만 기하학에서 모두 자연스럽게 유추할 수 있다.
다변수 미적분학에서 함수의 방향 도함수의 개념이 리만 기하학에서는 텐서의 공변 미분으로 확장되었다.
해석학과 미분방정식의 많은 개념과 기법들이 리만 다양체를 정의하여 일반화 되었다.
리만 다양체 사이에 거리를 보존하는 미분동형사상은 등거리변환이라 부른다.
이 개념은 또한 국소적(즉, 한 점의 좁은 근방)으로 정의될 수 있다.
어느 두 표준 곡선은 지역적으로 등거리 변환이다.
하지만 이미 가우스의 빼어난 정리는 표면에서 지역적 등거리변환의 존재성이 강한 양립가능성을 의미한다는 것을 보여주었다.
즉, 대응되는 점들의 가우스 곡률은 반드시 같아야 한다. 고차원에서,
리만 곡률 텐서는 리만 다양체와 관련된 얼마나 평평한지를 측정해주는 각 점을 기준으로 한 좋은 불변량이다.
리만 다양체의 중요한 류(class)는 리만 대칭 공간이다. 리만 대칭 공간의 곡률은 꼭 일정할 필요가 없다.
이들은 유클리드 기하와 비유클리드 기하에서의 "보통의" 평면과 공간에서 가장 근접한 유추이다.
