대학미적분학,극방정식,극좌표와대칭1
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* 생각해보기 : 극좌표 방정식
극좌표를 이용하여 곡선을 나타내는 방정식을 극좌표 방정식 또는 극방정식이라고 한다.
극좌표계는 그 특성상 수많은 곡선이 심플한 극좌표 방정식으로 표현 가능하다.
극좌표 방정식으로 표현될 수 있는 곡선은
아르키메데스 나선형, 달팽이꼴 곡선, 극좌장미 곡선 등이 있다.
원의 극좌표 방정식
원의 중심이 (r 0, φ)
으므로,
반지름 a인 원의 일반적인 방정식은 아래와 같이 설명된다.
위의 방정식은 여러 방법으로 단순화될 수 있다.
r(θ)=a (원의 중심이 극에 있고 반지름이 a인 경우)
직선의 극좌표 방정식
극을 통과하는 선은 다음과 같은 방정식으로 설명된다.
- θ = φ
방정식에서 φ 는 극을 통과하는
선 기울기를 각도로 표현한 것이다.
(φ = arctan m), m은 데카르트 좌표에서 기울기이다.
θ = φ 직선과 수직이면서 점 (r0,φ)를
지나가는 직선 로 나타낼 수 있다.
극좌표 장미 곡선 << 그림보러가기
( =임의의 상수)
장미 곡선 >> 꽃잎이 모여진 것처럼 보이는 심미성이 있는 아름다운 곡선이며,
몇가지 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있다.
k가 홀수 : k개의 꽃잎을 그리면서 생성된다.
k가 짝수 : 2k개의 꽃잎을 그리면서 생성된다.
k가 정수가 아닐 때 : 꽃과 비슷한 모양이지만 이때는 꽃잎이 겹치게 된다.
4n + 2개의 꽃잎을 지닌 장미 곡선을 그릴 수는 없다.
변수 a는 꽃잎의 길이를 의미한다.