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수학 이야기

미분방정식, 변수분리형 미분방정식, 미분방정식 노트 및 강의

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미분방정식 - 변수분리형 (1) 고고

미분방정식 - 변수분리형 (2) 오케이3

 

미분방정식 - 변수분리형 (3) Hi

 

 

미분방정식 - 변수분리형 (4) 오케이2

 

 


 

미분방정식 - 라플라스변환(1) 정의, 선형성  - (1) 하하

 

 

미분방정식 - 라플라스변환(1) 정의, 선형성 - (2) 오케이

 

미분방정식 - 라플라스변환(1) 정의, 선형성 - (3) 하이2

 

 

미분방정식 - 라플라스변환(1) 정의, 선형성 - (4) 오케이2

 

 

미분방정식

differential equation , 微分方程式

하나나 그 이상의 도함수를 갖는 수학식.

이는 연속적으로 변하는 양의 변화율 사이의 관계를 나타낸다.

미분방정식은 과학, 공학, 기타 정량적 연구 분야에 자주 쓰인다.

미분방정식의 해는 일반적으로 하나나 그 이상의 변수에 대해 하나의 변수가 어떤 함수에 의해 표현된다는 것을 나타내는 대수방정식이며,

보통 원래의 미분방정식에는 없는 상수항을 가지고 있다.

미분방정식은 크게 몇 개의 범주로 나눌 수 있으며, 이 범주들은 더 자세히 세분된다.

이 가운데 가장 중요한 범주에는 상(常)미분방정식편(偏)미분방정식이 있다.

방정식에 나타난 함수가 하나의 독립변수를 가지면 이 함수의 도함수는 상도함수가 되고,

이때의 미분방정식은 상미분방정식이라고 한다.

한편 함수에 독립변수가 여러 개 있으면 이 함수의 도함수는 편도함수가 되고,

이때의 미분방정식은 편미분방정식이라고 한다. 상미분방정식의 예를 들면,

이다. 이 식에서 y는 함수를 나타내고 tx는 독립변수이며, km은 상수이다.

어떤 형태이건 n계 미분방정식이라고 하면,

n계 도함수는 있지만 이보다 더 높은 계수의 도함수가 없는 미분방정식을 말한다. 방정식

는 2계 편미분방정식의 예이다.

상미분방정식과 편미분방정식 이론은 매우 다르기 때문에 이 두 범주는 따로 취급한다.

하나의 미분방정식과는 달리 어떤 대상을 연구할 경우는 연립미분방정식이 나타나기도 한다.

역학법칙에 대한 공식은 주로 이런 형태로 유도된다.

여러 가지 경우에 있어 n계 미분방정식 하나를 n개의 1계 연립미분방정식으로 바꾸면 편하다.

예를 들어 함수 y, 독립변수 x로 표시된 상미분방정식은 사실상 그 속에 x의 함수로서 y의 기본 특성을 갖고 있다.

만일 yx의 함수꼴로 얻어진다면 아마도 이 함수의 특성을 더 쉽게 분석할 수 있을 것이다.

미분방정식으로부터 구한 함수,

또는 적어도 도함수가 포함되지 않은 x와 y의 방정식을 미분방정식의 해라 한다.

대수학이나 미적분학으로 방정식의 해를 구하는 과정을

'방정식을 푼다'거나 '방정식을 적분한다'라고 한다.

그러나 적분 가능한 미분방정식은 별로 없다.

미분방정식을 임의로 택하면, 방정식 그 자체가

함수의 특성을 함축한 가장 간단한 형태이거나 이론적으로 해를 얻는 공식이 없는 경우가 대부분이다.

 

이런 경우에는 함수를 간접법으로 연구해야 하고

이 조사에 의해서도 해를 얻을 수 없을 경우에는 해가 존재한다는 사실만이라도 증명해야 한다.