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수학 이야기/ㅅ ● 수

소수 개념의 확장


소수 개념의 확장

오래 전부터 수학자들은 자연수 혹은 정수의 테두리 안에서만 소수 개념이 적용될 필요는 없다고 생각했다. 이것의 직접적 이유는, 다항식에 관한 이론이 체계화되면서 '기약 다항식' 등 소수와 유사한 개념을 분석에 도입할 필요가 생겼기 때문이었다. 또한 유사한 시기에 추상대수학에 대해 기초적인 발전이 이루어지면서, 어떤 연산이 정의된 대수적 구조에 대한 일반적 관점에서 소수 개념을 다룰 필요성 역시 생겨나기 시작했다.

소수의 개념을 분석해 나가던 도중, 수학자들은 이전에 자연수 범위에서만 사용되던 소수의 두 가지 정의가 좀 더 일반적인 경우에는 서로 동치조건이 아니게 된다는 사실을 발견하였다. 예컨대 자연수 범위 내에서 소수는,

  • p가 소수일 필요충분조건은, p1이 아니면서 p | ab이면 p | a이거나 p | b인 것이다.
  • p가 소수일 필요충분조건은, p1이 아니면서 p = ab이면 ab의 둘 중 하나는 반드시 1인 것이다.

와 같이 두 가지 방식으로 정의될 수 있다. 이 정의를 정수 범위로 확장시키기 위해서는 먼저 0을 제외하고, 단순히 정의에 들어 있는 1+ 1, − 1 모두 포함하는 것으로 생각하면 된다. 이는 바로 정수환 상에서 각각 덧셈에 대한 항등원단원의 조건이다.(이 일반화를 직관적으로 좀 더 명확하게 받아들이기 위해서는, 가우스 정수에 대한 경우를 생각하면 된다. 이 때는 단위 순허수들까지 단원의 영역에 포함된다)

소수와 기약수

소수 개념은 이러한 이러한 일반화에 힘입어 일반적인 정역, 좀 더 나아가 1을 가진 가환 환까지 그 배경 집합이 확장될 수 있다. 그런데 이렇게 일반화하고 보면, 위에서 언급했던 바와 같이 위의 두 동치조건이 더이상 동치가 아니게 된다. 그러므로 전자를 소수, 후자를 기약수로 정의하고(혹은 소원, 기약원이라고도 한다) 일반화된 정의를 서술하면 다음과 같다.(이하에서 0이란 주어진 환의 덧셈 연산에 해당하는 항등원이라는 의미이다)

  • p가 소수일 필요충분조건은, p0이나 단원이 아니면서 p | ab이면 p | a이거나 p | b인 것이다.
  • p가 기약수일 필요충분조건은, p0이나 단원이 아니면서 p = ab이면 ab의 둘 중 하나는 반드시 단원인 것이다.

이와 같은 정의는, 종래의 정수환과 가우스 정수환, 다항식환을 포괄하는 넓은 의미에서 적용될 수 있다.

몇몇 성질들

위와 같은 소수와 기약수에 대해, 어떤 1을 가진 가환 환 R위에서 다음 성질들이 성립한다.

  • 만약 R이 정역이면, R 위에서 소수는 모두 기약수이다.(역은 일반적으로 성립하지 않는다)
  • 만약 R주 아이디얼 정역이면, R 위에서 소수와 기약수는 동치이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로 정수환 위에서 소수와 기약수는 같다.
  • 만약 R이면, R에 의해 유도된 다항식환 R[x]은 주 아이디얼 정역이므로, 윗 명제에 의해 R[x] 위에서 소수와 기약수는 동치이다.