방정식

방정식(方程式; equation)은 식에 나오는 변수의 값에 관계 없이 식이 항상 참인 항등식과 달리 변수가 특정 값(혹은 함수)일 때에만 참이 되는 식이다. 그리고, 방정식을 참이 되게 하는 변수의 값을 해라고 한다. 해가 없을 수도 있고(불능), 해가 몇 개의 값일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 마지막의 경우 방정식은 항등식이 된다.

예를 들어

$\, {(x+1)}^2=x^2+2x+1$

은 항등식인 반면,

$\, x^2-5x+6=0$

은 방정식이고, 그 해는 $\ 2$ 와 $\ 3$ 이다.

알파벳 앞쪽의 $a, b, c$ 등은 일반적으로 상수를, 뒤쪽의 $x, y, z$ 등은 미지수 혹은 변수를 나타낸다. 그래서 방정식을 푼다는 것은 방정식을 만족시키는 미지수를 식에 포함된 상수로 표현하는 것을 말한다. 고대 수학 초기에는 방정식의 변수를 '아하'로 표기했는데 고대 수학 말기에는 그리스의 수학자 디포크라테스가 처음으로 변수에 문자를 넣어서 계산하게 되었다. 중세 수학에서는 프랑스의 수학자 비에타에 의해 미지수는 $a, e, i, o, u$ 등의 모음을 썼다가 프랑스의 수학자 데카르트가 처음으로 미지수를 $x, y, z$ (이 때의 $x, y, z$ 는 필기체)로 사용하였고, 이것이 현대 수학까지 전해져 오고 있다.

유리 방정식

다항 방정식과 분수 방정식을 통틀어 유리 방정식이라 한다.

다항 방정식

일차방정식, 이차방정식, 삼차방정식 등과 같이 미지수에 대한 다항식으로만 이루어진 방정식을 다항 방정식이라고 한다.

일차방정식

일차 방정식 그래프의 예시

일차 방정식(一次方程式)은 식에 나오는 변수의 값에 관계 없이 식이 항상 참인 항등식과 달리 변수가 특정 값(혹은 함수)일 때에만 참이 되는 식 중 하나로, 최고차항의 차수가 1인 방정식을 뜻한다.

이차방정식

이차 방정식이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

a x 2 + b x + c = 0

(단, $\quad a \ne 0)$

와 같고, 여기에서 $\ a$ 와 $\ b$ 는 각각 $\ x^2 , x$ 의 계수라고 한다. $\ c$ 는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이런 경우는 중근이라고 한다.

분수 방정식

분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어진 방정식을 분수방정식이라 한다. 방정식에서 모든 항을 좌변으로 이항하여

$\ f(x) = 0$

과 같은 꼴로 정리하였을 때,

$\frac{1}{x} + \frac {2}{(x+1)} = 0, \quad \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} - 3 = 0$

등과 같이 $f (x)$ 가 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어지는 방정식이다. 분수방정식을 풀 때에는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다.

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방정식(方程式; equation)은 식에 나오는 변수의 값에 관계 없이 식이 항상 참인 항등식과 달리 변수가 특정 값(혹은 함수)일 때에만 참이 되는 식이다.

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