대수기하학

대수기하학(代數幾何學, algebraic geometry)은 초기에는 직교좌표계 위에 유한 개의 대수방정식들을 만족하는 해들의 자취로 표현되는 대상, 이른바 대수다양체를 연구하는 기하학 분야였다.

그러나 시간이 지날수록 급격한 발달을 거치면서 그 연구 대상이 점점 확대되다가 20세기 중반 이후 그로센딕(Alexander Grothendieck)에 의해서 굉장히 일반화 된 스킴이 탄생하면서부터 전통적인 복소대수기하학에서부터 정수론까지 폭넓은 분야를 연구하는 기본적인 도구로 사용되고 있다. 현재 많은 수학 분야들 중 가장 복잡하고 발달된 분야의 하나이다.

다항식의 영점

구와 기울어진(slanted) 원

고전적인 대수기하학에서 주 관심사는 여러 다항식들을 모은 집합이 있을 때 거기에 속하는 모든 다항식들의 값이 0이 되는 집합이 기하학적으로 어떤 성질을 갖는가 하는 것이었다. 예를 들어, 2차원 구는 3차원 유클리드 공간 R³에서

$x^2\ +\ y^2\ +\ z^2-1\ =\ 0$

을 만족시키는 점 $(x, y, z)$ 들의 집합으로 정의될 수 있다. 비슷하게, R³에서 다음의 두 식

$\begin{array}{lllllll} x^2 &+& y^2 &+& z^2-1 &=& 0 \\ x &+& y &+& z &=& 0 \end{array}$

을 둘 다 만족시키는 점들의 집합은 원이 된다.

아핀다양체

먼저 $k$ 가 체라 하자. 고전적 대수기하학에서는 언제나 $k$ 를 복소수체 C로 놓았으나,
실제로는 $k$ 가 대수적으로 닫혀있다는 가정만 하면 대부분의 결과가 동일하게 성립한다.

이때 $\mathbf A^n(k)$ 를 $k n$ 으로 정의하여 $k$ 상의 $n$ 차원 아핀공간이라 하고,

$k$ 가 문맥에서 명확한 경우에는 단순히 $\mathbf A^n$ 이라고 쓴다.

이는 쓸데없는 정의로 보일 수도 있지만, $k n$ 이 갖는 벡터공간으로서의 구조를 '무시하기' 위한 것으로 볼 수 있다. 즉, $\mathbf A^n$ 을 단순한 점집합으로 보자는 것이다.

함수 $f: \mathbf A^n \to \mathbf A^1$ 가 다항식으로 표현될 수 있을 경우, 이를 정칙 함수(regular function)라 한다.

구체적으로는, $k[x_1,\cdots,x_n]$ 에 속하는 적당한 다항식 $p$ 가 있어서 $\mathbf A^n$ 에 속하는 임의의 점 $(t_1,\cdots,t_n)$ 에 대해 $f(t_1,\cdots,t_n) = p(t_1,\cdots,t_n)$ 이 성립하는 경우를 말한다.

따라서 $n$ 차원 아핀공간 상의 정칙 함수는 $k$ 상의 $n$ 변수 다항식과 동일한 것이며, 이를 $k[\mathbf A^n]$ 로 쓴다.

다항식의 값이 0이 되는 점을 그 다항식의 영점이라고 한다.

$S$ 가 $k[\mathbf A^n]$ 의 부분집합일 때, $S$ 에 속하는 모든 다항식들이 0이 되는 점을 $V (S)$ 로 쓰고, ' $S$ 의 영점'이라고 한다. 기호로 쓰면 다음과 같다:

$V(S) = \{(t_1,\cdots,t_n) \in\mathbf A^n | \forall p \in S, p(t_1,\cdots,t_n) = 0\}$

$\mathbf A^n$ 의 부분집합이 적당한 $S$ 에 대해 $V (S)$ 와 일치할 경우, 이를 대수적 집합이라 한다.

여기에서 $V$ 는 아래에서 설명할 특수한 종류의 대수적 집합인 variety(대수다양체)의 첫 글자를 딴 것이다.

역으로, 대수적 집합 $U$ 가 주어졌을 때 이로부터 $V (S) = U$ 가 되는 집합 $S$ 를 찾아내는 문제를 생각해 보자. $U$ 가 임의의 $\mathbf A^n$ 의 부분집합일 때, $I (U)$ 를 영점이 $U$ 를 포함하는 다항식들의 집합으로 정의한다.

여기에서 $I$ 는 ideal(아이디얼)의 첫 글자이다. 다항식 $f$ 와 $g$ 가 $U$ 에서 0이 될 경우, $f + g$ 도 $U$ 에서 0이 되며, 임의의 다항식 $h$ 에 대해 $h f$ 도 $U$ 에서 0이 되므로, $I (U)$ 는 언제나 $k[\mathbf A^n]$ 의 아이디얼이 되기 때문이다.

그렇다면,

$\mathbf A^n$ 의 부분집합 $U$ 에 대해, 어떤 경우에 $U = V (I (U))$ 가 성립할까?
다항식들의 집합 $S$ 에 대해, 어떤 경우에 $S = I (V (S))$ 가 성립할까?

첫 번째 질문에 대한 대답은 자리스키 위상을 도입함으로서 얻을 수 있다. 자리스키 위상은 $\mathbf A^n$ 상에 정의되는, $k[\mathbf A^n]$ 의 대수적 구조가 반영된 위상이다. 이때 $U = V (I (U))$ 가 성립할 필요충분조건은 $U$ 가 자리스키 위상에서 닫힌 집합이라는 것이다. 두 번째 질문에 대한 대답은 힐베르트 영점 정리(Hilbert's Nullstellensatz)이다. 이 정리의 한 형태에 따르면, $I (V (S))$ 는 $S$ 에 의해 생성되는 아이디얼의 근(radical)이다. 보다 추상적인 언어로 말하자면, $I$ 와 $V$ 사이에는 갈루아 대응(Galois connection)이 있으며, 둘을 합성하면 닫힘 연산자(closure operator)가 된다는 것이다.

힐베르트 기저 정리(Hilbert's basis theorem)에 따르면 $k[\mathbf A^n]$ 의 모든 아이디얼은 유한 생성된다.

따라서 아이디얼 전체가 아닌 유한개의 다항식만을 대상으로 논리를 전개해서 정리를 증명할 수도 있으며, 이는 기초적인 대수기하학에서 중요한 도구가 된다.

그보다 작은 두 대수적 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 대수적 집합을 기약 대수적 집합(irreducible algebraic set)이라 하며, 이를 또한 대수다양체라고도 부른다. 대수적 집합이 대수다양체가 될 필요충분조건은 그 집합을 정의하는 다항식들의 집합이 다항식환 내에서 소 아이디얼(prime ideal)을 생성한다는 것이다.

정칙함수

위상공간에서 자연스러운 사상은 연속함수이고 미분가능 다양체에서 자연스러운 사상은 매끄러운 함수(smooth functions)인 것처럼, 대수적 집합에서도 소위 정칙 함수(regular functions)라고 부르는 자연스러운 함수 부류가 있다. 어파인 공간 $\mathbf A^n$ 에 속해있는 대수적 집합 $V$ 상의 정칙 함수란, 앞서 우리가 정의한 의미로, $\mathbf A^n$ 상의 정칙함수에 제한함수(the restriction)로써 정의된다.

정칙함수가 임의의 공간으로 항상 확장되기를 요구하는 것은 부자연스러운 제약처럼 보이며, 매우 비슷한 상황이 정규(위상)공간에도 있다. 이때는 티에츠 확장정리에 의하여, 폐집합에서 정의된 연속함수는 반드시 임의의 위상공간으로 확장 가능하다는 것이 보장된다.

어파인 공간상의 정칙함수에서도, $V$ 상의 정칙함수들은 환을 이루며, $k [V]$ 로 표시한다. 이 환을 $V$ 의 좌표환(coordinate ring of $V$ ) 이라고 한다.

$V$ 상의 정칙함수들은 $\mathbf A^n$ 상의 정칙함수에서 나오므로, 그것들의 좌표환들 사이에는 관련성이 있어야 할것이다. 특히, $k [V]$ 안의 함수를 얻기 위하여 $k[\mathbf A^n]$ 의 함수를 잡아놓는다. 만약 이것이 $V$ 에서도 값을 가질때에, 그값이 같게 나온다면, 우리는 그것이 다른함수( $k [V]$ 안의 함수들)들과 같은 것이라고 말한다. 이것은 $V$ 상에서 그(함수)들의 차가 0 이라는 것과 같은 얘기이다. 이것으로 부터, $k [V]$ 는 $k[\mathbf A^n]/I(V)$ 으로 볼 수도 있다.

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