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수학 이야기

미분방정식, 미분 방정식, 공업수학





미분방정식, 미분 방정식, 공업수학

 
 공업수학 : 미분방정식의 개요(1) www.qstudy.kr 
 
 편입,전공,임용수학 : 미분방정식 2강 : 변수분리형 미분방정식-1 
 
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미분 방정식(微分方程式)은 미지의 함수와 그 도함수간의 관계를 나타내는 방정식이다.
미분 방정식의 차수는 방정식에 나오는 도함수가 몇 계 도함수까지 나오는지에 따라 결정된다.

미분 방정식은 유체역학, 천체역학등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에 사용된다.
따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다.

미분 방정식의 목표는 다음 세가지 이다. 첫째, 특정한 상황을 표현하는 미분 방정식을 발견하는 것이다.
둘째, 그 미분 방정식의 정확한 해를 찾는 것이다. 셋째, 그 찾은 해를 해석하여 미래를 예측하는 것이다.
미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다.
그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고,
여기서 얻어진 해는 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.

목차

미분 방정식의 종류


미분 방정식의 예

제차 상미분 방정식

1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.

\frac{dy}{dx} + f(x) y = 0,

여기서 f(x)는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.

\frac{dy}{y} = -f(x)\, dx

위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.

y = Ae F(x)

여기서

F(x) = \int f(x)\,dx.

A는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

f(x)가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.


1차 비제차 상미분 방정식

1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.

\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)

이 방정식을 푸는 방법은 특별한 "적분 인자", μ 에 달려있다.

\mu = e^{\int_{}^{} p(x)\, dx}

일반적인 1차 상미분 방정식의 양변에 μ를 곱하자.

\mu{\frac{dy}{dx}} + \mu{p(x)y} = \mu{q(x)}

우리가 선택한 특별한 μ의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다.

\mu{\frac{dy}{dx}} + y{\frac{d{\mu}}{dx}} = \mu{q(x)}

미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다.

\frac{d}{dx}{(\mu{y})} = \mu{q(x)}

양변은 적분하면,

\mu{y} = \left(\int\mu q(x)\, dx\right) + C

를 얻고, 마지막으로 y대해 풀고, μ로 양변을 나누면,

y = \frac{\left(\int\mu q(x)\, dx\right) + C}{\mu}

를 얻는다. (μ는 x의 함수이므로 더이상 간단히 할 수는 없다.)